244. Как правильно: «по будет» или «побудет»?

Корректно (с точки зрения орфографии): Меня там не было с вами, но пусть это фото побудет здесь со мной.

Превращение глагольной приставки в «предлог» с пробелом («про бежал», «на рушил», «за держали», «с ломали», «о штрафовали» и т. п.) — типичная ошибка тех, кто изучает русский как неродной. Чтобы избежать ее, достаточно запомнить, что предлог никогда не ставится непосредственно перед глаголом. Подробнее об употреблении предлогов см. вопрос 207.

Оборот побудет со мной не вполне уместен в данном контексте: обычно так говорят о людях. Коль скоро речь идет о предмете, лучше написать останется у меня.