Пунктуация корректна.

Местоимение мне и союз не только здесь можно рассматривать как однородные члены предложения (ср.: мне и другим), поэтому дополнительные знаки препинания не требуются.

Однако в целом фраза не вполне удачна. Эллиптический оборот и не только [мне] с пропуском личного местоимения относится к разговорной речи и плохо согласуется с возвышенным смыслом реплики. Кроме того, в середине предложения такой оборот часто образует ложные сочетания, затрудняющие восприятие («не только мне» или «не только хочется»?), поэтому обычно им завершают мысль.

Фразу лучше перестроить, сохранив нужные акценты. Например:

Мне, и не только мне, хочется жить, петь, летать.
Мне, как и многим, хочется жить, петь, летать.
Мне хочется жить, петь, летать — и я не одинока.