Корректно: с помощью их.
Местоименные существительные он, она, оно, они в косвенных падежах (за исключением предложного) начинаются на гласную: его, ему, им; ее, ей; их, им, ими. Например: Казнить его немедленно!
Однако с большинством предлогов (и в предложном падеже, понятно) используются особые формы на н: у него, к нему, с ним, о нем etc. Некоторые предлоги допускают оба варианта: во имя нее и во имя ее, в числе них и в числе их; особо дерзкие дружат только с гласными: вне его, вслед ей, с помощью их.
Кроме того, у форм его, ее, их есть омонимы — местоименные прилагательные (они же притяжательные местоимения), указывающие на принадлежность и применимые в вашем случае. Оборот с их помощью может показаться идентичным, но помощь здесь станет существительным, а их — прилагательным, для которого формы «них» просто не существует, поэтому вам и в голову не придет ее использовать.
Местоименные существительные он, она, оно, они в косвенных падежах (за исключением предложного) начинаются на гласную: его, ему, им; ее, ей; их, им, ими. Например: Казнить его немедленно!
Однако с большинством предлогов (и в предложном падеже, понятно) используются особые формы на н: у него, к нему, с ним, о нем etc. Некоторые предлоги допускают оба варианта: во имя нее и во имя ее, в числе них и в числе их; особо дерзкие дружат только с гласными: вне его, вслед ей, с помощью их.
Кроме того, у форм его, ее, их есть омонимы — местоименные прилагательные (они же притяжательные местоимения), указывающие на принадлежность и применимые в вашем случае. Оборот с их помощью может показаться идентичным, но помощь здесь станет существительным, а их — прилагательным, для которого формы «них» просто не существует, поэтому вам и в голову не придет ее использовать.