Корректно: Я знаю, кого благодарить. Я знаю, что делать.

В данном случае запятая выполняет обычную функцию, разделяя главное и придаточное предложение. Запятая не ставится перед что, как, куда, чей и т. п., когда эти слова входят в состав неразложимых выражений: есть что сказать; подумай как следует; есть куда пойти; бог знает чей и др.